Question

【题目】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1，的小正方形格子，小正方形的顶点，叫做标点．以标点为顶点我们可以做三角形、四边形、五边形等多种多边形，它们都叫做格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为X，

（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表：

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5
各边上格点的个数和x	4	5

根据以上信息，当各边上格点的个数和为x时，则多边形的面积S=　　 ．

（2）请你在下列方格中在画中一些格点多边形（至少画三个不同形式的），使这样的多边形内部都有而且只有2个格点．

此时各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和X之间的关系是S=　　 ．

（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎么样的关系，S=　 　．

Answer 1

【答案】（1）3，4，6，8，S=x；

（2），S=x+1；（3）S=x+（n﹣1）

【解析】

试题分析：（1）2=4×，2.5=5×；多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即S=x；

（2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，由此画图；并根据图找出S与x的关系．

（3）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=x+（n﹣1）．

解：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请你填写下表：

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4
各边上格点的个数和x	4	5	6	8

根据以上信息，多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即S=x；

（2）

根据图可知：

正方形的面积是6，它的各边上格点的个数和x是10，中间格点数是2，

6=10÷2+1；

三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和x是4，中间格点数是2，

3=4÷2+1；

梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是8，中间格点数是2，

5=8÷2+1；

那么S=x+1；

（3）通过上题探究可知：

最后的1就是内部的格点数2﹣1而得；

所以格点多边形面积=各边上格点的个数和×+（多边形内部格点数﹣1）；即：

S=x+（n﹣1）；

故答案为：S=x；S=x+1；S=x+（n﹣1）．