Question

【题目】已知的实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点，

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对实常数分情况讨论，由 的正负得出函数的单调性；（2）（ⅰ）由（1）的讨论，得出，再根据极小值为负数，得出的范围；（ⅱ）由，得，即，令，对求导，得出单调性，要证，只需证就可得出结论，构造， ，求导得出单调性转化求解即可。

试题解析：（1）.

当时， ，函数在上单调递增；

当时，由，得.

若，则，函数在上单调递增；

若，则，函数在上单调递减.

（2）（ⅰ）由（1）知，当时， 单调递增，没有两个不同的零点.

当时， 在处取得极小值.

由，得.

所以的取值范围为.

（ⅱ）由，得，即.

所以.

令，则.

当时， ；当时， .

所以在递减，在递增，所以.

要证，只需证.

因为在递增，所以只需证.

因为，只需证，即证.

令， ，则.

因为，所以，即在上单调递减.

所以，即，

所以成立.