Question

10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一场，比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总分相等，如果胜者得2分，输者得0分，和局各得1分，则前六名的分数各为

17，16，13，12，11，9

分．

Answer 1

分析：先设第k名选手的得分为a_k（1≤k≤10），得出a₁、a₂的值，再根据得出a₄≥12，求出a₃，再根据a₁≤a_3^-1=12，求出a₄，最后根据a₁+a₂+a₃+…a₈+a₉+a₁₀=90分别求出a₅、a₆的值．

解答：解：设第k名选手的得分为a_k（1≤k≤10），依题意得：a₁＞a₂＞a₃＞…a₉＞a₁₀
a_{1≤1+2×（9-1）=17}，
a_2≤a_1-1=16，
a_3⁺²⁰⁼a_1⁺a₂，
所以a_{3≤13 ①}，
又后四名棋手相互之间要比赛

4×3

2

=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，
所以a₇+a₈+a₉+a_10≥12，
所以a_4^≥12
而a_3≥a_{4^{+1≥13，②
所以由①②得：}}a₃₌₁₃，
所以a₁+a₂₌₃₃，
所以a₁=17，a_{2=16，
又因为}a₁≤a_3-1=12，
所以a₄=12，
因为a₁+a₂+a₃+…a₈+a₉+a₁₀⁼

10×9

2

×2=90_{，
所以17+16+13+12+}a₅+a₆+12=90，
而a₅+a₆≤a₅+a₅-1，
即：a₅≥10

1

2

，
又a_5＜a4=12，
则a₅=11，a₆=9，
答：前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9．
故答案为：17，16，13，12，11，9．

点评：本题考查了推理与论证；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题的关键．