Question

如图，ABCD是长边为6的正方形，ADGH是一个梯形，点E、F分别是AD、GH的中点，HF=6，EF=4，EF⊥GH．联结HE并延长交CD于点I，作IJ⊥HA，则IJ=______．

Answer 1

如图作辅助线，由分析可知，
AM⊥HF，AM⊥AD，则AM=EF=4；
因为点E、F分别是AD、GH的中点，
所以AE=HM=3，
又HM∥AE，
所以四边形AEMH是平行四边形，
所以OA=

1

2

AM=

1

2

×4=2．
因为AE=DE，∠AEO=∠DEI，∠OAE=∠IDE=90°，
所以△OAE≌△IDE，
所以DI=AO=2；
在RT△AMH中，由勾股定理可得AH=

32+42

=5，
同理可得：HE=2

13

，EI=

13

，
所以HI=HE+EI=3

13

；
由S_△HAE=

1

2

AE?EF=

1

2

AH×EN可得：

1

2

×3×4=

1

2

×5×EN，
解之得，EN=2.4；
因为∠ENJ=∠J=90°，∠NHE=∠JHI，
所以△HNE∽△HJI，
所以

HE

HI

=

EN

IJ

，
所以

2 3

3 3

=

2.4

IJ

，
解得IJ=3.6．
故答案为：3.6．