Question

在如图所示的四个空格中放入4个正整数，使这些数字之和为13，如1，3，4，5是一种组合，则共有

18

种不同的数字组合．

Answer 1

分析：这些数字之和为13，可以看做是有13个1组成的，每个格中先放4个1，这样还剩9个1，然后把9个1按每个格中最多再放9、8、7、6、5、4、（4以后就与前面的排列重复），进而按顺序罗列出来即可．

解答：解：四个空格子不能空格，所以最大数是10，
（1）四个空格中最大数是10有：10111；1种；
（2）四个空格中最大数9是有：9211；1种；
（3）四个空格中最大数8是有：8311；8221；2种；
（4）四个空格中最大数7是有：7411；7321；7222；3种；
（5）四个空格中最大数6是有：6511；6421；6322；6331；4种；
（6）四个空格中最大数5是有：5611（同6511）；5521；5431；5422；5332；4种；
（7）四个空格中最大数4是有：4441；4432；4333；3种；
（8）4以后就与前面的排列重复；
所以一共有：1+1+2+3+4+4+3=18（种）；
答：则共有18种不同的数字组合．
故答案为：18．

点评：本题属于排列组合中的加法原理，需要分类考虑，注意按顺序罗列防止遗漏，每一组中的最大数不能超过上一组的最大数，否则排列重复．