Question

一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的倍数，例如1001，因为1+0=0+1，所以它是11的倍数；又如1234，因为4+2-（3+1）=2不是11的倍数，所以1234不是11的倍数．问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11的倍数？

Answer 1

分析：用1.2.3.4.5组成不含重复数字的六位数，a₁a₂a₃a₄a₅a₆它能被11整除，并设a₁+a₃+a₅≥a₂+a₄+a₆，则对某一整数k≥0，有：a₁+a₃+a₅-a₂-a₄-a₆=11k，也就是：
a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=11k+2（a₂+a₄+a₆）①
15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a₂+a₄+a₆）②
由此看出k只能是奇数
由（1）式看出，0≤k＜2，又因为k为奇数，所以只可能k=1，
但是当k=1时，由（2）式看出a₂+a₄+a₆=2．
但是在0、1、2、3、4、5中任何三个数之和也不等于2，可见k≠1．因此（1）不成立．
对于a₂+a₄+a₆＞a₁+a₃+a₅的情形，也可类似地证明（a₂+a₄+a₆）-（a₁+a₃+a₅）不是11的倍数．
由此即可得出结论．

解答：解：用1.2.3.4.5组成不含重复数字的六位数，a₁a₂a₃a₄a₅a₆它能被11整除，并设a₁+a₃+a₅≥a₂+a₄+a₆，则对某一整数k≥0，有：a₁+a₃+a₅-a₂-a₄-a₆=11k，也就是：
a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=11k+2（a₂+a₄+a₆）①
15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a₂+a₄+a₆）②
由此看出k只能是奇数
由（1）式看出，0≤k＜2，又因为k为奇数，所以只可能k=1，
但是当k=1时，由（2）式看出a₂+a₄+a₆=2．
但是在0、1、2、3、4、5中任何三个数之和也不等于2，可见k≠1．因此（1）不成立．
对于a₂+a₄+a₆＞a₁+a₃+a₅的情形，也可类似地证明（a₂+a₄+a₆）-（a₁+a₃+a₅）不是11的倍数．
根据上述分析知：用0、1、2、3、4、5不能组成不包含重复数字的能被11整除的六位数．

点评：明确能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定是11的倍数．