Question

求证：2¹⁵-2¹⁴+2¹³-2¹²+2¹¹-2¹⁰+2⁹-2⁸+…+2¹-2⁰
能被5整除．

Answer 1

分析：可先根据分配律得出一组加法算式，再根据2的乘方尾数的特征求出这个算式的尾数，根据能被5整除的数的特征进行判断即可解答．

解答：解：2¹⁵-2¹⁴+2¹³-2¹²+2¹¹-2¹⁰+2⁹-2⁸+…+2¹-2⁰
=（2¹⁵+2¹³+2¹¹+2⁹+…+2¹）-（2¹⁴+2¹²+2¹⁰+2⁸+…+2⁰）
=2×（2¹⁴+2¹²+2¹⁰+2⁸+…+2⁰）-（2¹⁴+2¹²+2¹⁰+2⁸+…+2⁰）
=2¹⁴+2¹²+2¹⁰+2⁸+…+2⁰
2的乘方的尾数特征为：2，4，8，6，2，4，8，6…依次循环
所以2¹⁴+2¹²+2¹⁰+2⁸+…+2⁰的尾数相加为4+6+4+6+4+6+4+1，尾数为5，
根据能被5整除的数的特征可知，末尾为5的数能被5整除．
所以2¹⁵-2¹⁴+2¹³-2¹²+2¹¹-2¹⁰+2⁹-2⁸+…+2¹-2⁰能被5整除．

点评：本题主要考查数的乘方的尾数特征与能被5整除的数的特征，熟练掌握上述特征并进行判断是解答本题的关键．