Question

求l-2001的所有自然数中，有多少个整数x使2^x与x²被7除余数相同？

Answer 1

分析：分别求出x是自然数时，2^x÷7与x²÷7的余数与x的关系：找出它们余数循环的规律再进行解答．

解答：解：首先看2^x÷7的余数、x²÷7的余数与x的关系：

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
2x÷7的余数	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1
x2÷7的余数	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0

可见，2^x÷7的余数3个一循环，x²÷7的余数7个一循环，所以，3和7的最小公倍数为21，2001÷21=95…6，每21个数中，余数相同的有6个，前6个中余数相同的有4个，所以，共有95×6+4=574（个）．
答：有574个整数x使2^x与x²被7除余数相同．

点评：本题的关键是找出余数循环的规律，再进行解答．