Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点分别是，直线与椭圆交于两点．

（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；

（2）若，且是以为直角顶点的直角三角形，求与满足的关系；

（3）若，且，求证： 的面积为定值．

Answer 1

【答案】(1) 或；（2） ；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据为等腰直角三角形，可得，两种情况讨论，可得的值为 或；（2）当时， ，设，

由，即，由韦达定理及平面向量数量积公式可得结果；（3）由可得，结合韦达定理可得，根据以上结论，利用三角形面积公式化简即可得结论.

试题解析：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，

∴△MF1F2为等腰直角三角形，

∴OF1=OM，

当a＞1时，=1，解得a=，

当0＜a＜1时，=a，解得a=，

（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），

由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，

∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，

∴=0，

∴x1x2+y1y2=0，

∴+=0，

∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0

∴m2（a2+1）=2a2，

（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，

设A（x1，y1），（x2，y2），

∵kOAkOB=﹣，

∴=﹣，

∴x1x2=﹣4y1y2，

由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

∴x1+x2=，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2

=++m2=，

∴=﹣4×，

∴2m2﹣4k2=1，

∴|AB|==

=2=

∵O到直线y=kx+m的距离d==，

∴S△OAB=|AB|d====1.