Question

有100人参加算术测验，从第一题到第5题共有5道题．答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人．这次测验规定：5道题只要做对3道题就及格．那么最少有多少人及格？

Answer 1

考点：容斥原理,抽屉原理

专题：传统应用题专题

分析：至少有多少人及格，那就是说不及格的人数最多时及格的人数最少．100人共答对的题目数量有：92+86+61+87+57=383（道），100人做对了383题次，要想及格（≥3道题的）的人数少，先让100人每人都对两道（尽量的先不让他们及格，占用的题次还尽量多），这时还有383-100×2=183题次．要是做对第5题的那57人再做对3道题的话（也就是让这57人是满分），由57×3=171＜183题次，还有183-171=12题次．再让61-57=4人每人再对两道（即这4个人每人都做对4道题），还剩12-4×2=4题次．这4道题次只能再让4人每人再做对1道题（也就是这4人每人都是做对3道题）．这样，做对≥3道题的人至少有57+4+4=65人，即及格者至少65人．

解答： 解：从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对第5题的最少人数57人都是满分的话
余下的答对题数的合计是（92+86+61+87+57-100×2）-（5-2）×57=12 人．
再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57得满分的话，答对了4道题的最多的情况下是 61-57=4人．
这时，余下的答对题数的合计是：12-（4-2）×4=4
答对3道题的人数是4．
根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65人．
所以至少有65人及格．

点评：解决本题可以用逆向思维思考是不及格的人数达到最大值时，及格的人数最少，先计算出出错的题目总数量，错3道以上不及格，都错3道时不及格的人数最多，再计算出错题人数最大值，就可以求出及格人数最小值．