Question

圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的-枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的l枚棋子，然后顺时针每格一枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次 越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是l4的倍数，请帮肋小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子？

Answer 1

分析：设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿走了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子．依此类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有3²a枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有3⁹a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2（3⁹a-1）+1枚棋子，所以N=2（3⁹a-1）+1+3⁹a=3¹⁰a-1．
N=3¹⁰a-1=59049a-1是14的倍数．N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1，所以4a-1必须是7的倍数．当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13，是7的倍数．

解答：解：设圆周上余a枚棋子，小洪拿走了2（3⁹a-1）+1枚棋子，
所以N=2（3⁹a-1）+1+3⁹a=3¹⁰a-1．
N=3¹⁰a-1=59049a-1是14的倍数．N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；
又N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1，
所以4a-1必须是7的倍数．当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，
当a=23时，4a-1=91=7×13，是7的倍数．
答：圆周上还有23枚棋子．

点评：此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链，采用逆向推导法解决问题．