Question

如图为半径20cm、中心角为144°的扇形图．点D、E、F、G、H、I、J是将扇形的B、C弧线分成了8等份的点．求阴影部分的面积之和．（圆周率为3.14）

Answer 1

分析：如下图添加辅助线，要求阴影部分的面积之和，只要求出上下两个阴影部分的面积相加即可．上面阴影的面积就等于扇形AEGI的面积减去弓形FGH的面积，而弓形FGH的面积就等于扇形AFGH的面积减去三角形AFH的面积，如此即可求出上面阴影的面积，同样的办法可求出下面阴影的面积，再相加即可．

解答：解：如上图所示，连接圆心A与圆周上各点，由垂径定理可知，AG与图中所有的弦都垂直；
点D、E、F、G、H、I、J是将扇形的B、C弧线分成了8等份的点，
所以图中每个小的圆心角的度数都是：144°÷8=18°．
S_弓形FGH=S_扇形AFGH-S_△AFH=

18×2

360

×π×20²-

1

2

×20sin18°×2×20cos18°
=40π-400sin18°cos18°
=40π-200sin36°；
所以上面阴影的面积是：S_扇形AEGI-S_弓形FGH-S_△AEI
=

18×4

360

×π×20²-（40π-200sin36°）-

1

2

×20sin36°×2×20cos36°
=80π-40π+200sin36°-200sin72°
=40π+200sin36°-200sin72°；
S_弓形DGJ=S_扇形ADGJ-S_△ADJ
=

18×6

360

×π×20²-

1

2

×20sin54°×2×20cos54°
=120π-200sin108°；
所以下面阴影的面积是：S_扇形ABGC-S_弓形DGJ-S_△ABC
=

144

360

×π×20²-（120π-200sin108°）-

1

2

×20sin72°×2×20cos72°
=160π-120π+200sin108°-200sin144°
=40π+200sin108°-200sin144°；
所以阴影部分的面积之和是：40π+200sin36°-200sin72°+40π+200sin108°-200sin144°
=80π
=80×3.14
=251.2（cm²）；
答：阴影部分的面积之和是251.2cm²．

点评：本题解决的思路简单，但是过程比较复杂．用到的公式有：sin2a=2sinacosa；sinA=sin（180-A）．