Question

小强、小蛙等六个同学照相，站成三排，第一排1人，第二排2人，第三排3人．小蛙和小强闹了别扭，不愿意在同一排，则有多少种站法？

Answer 1

考点：排列组合

专题：传统应用题专题

分析：先确定小强的位置，分小强在第一排、第二排和第三排进行讨论，然后相加．

解答： 解：（1）当小强在第一排时，第二排和第三排还有5个位置，这5个位置小蛙在哪都可以，所以一共

P

5 5

=5×4×3×2×1=120种方法

（2）当小强在第二排，小蛙可以是第一排、第三排的任意一个位置，有1+3=4种站法，剩下的4个位置，其他4人进行全排列，一共有：
4×

P

4 4

=4×（4×3×2×1）=96种站法；
又由于第二排有2个不同的位置，所以一共有96×2=192种站法；

（3）①当小强在第三排左边第一个位置时，小蛙可以是第一排和第二排的任意一个位置，还可以是第三排最右边的位置，
1+2+1=4种位置；
其他4人进行全排列，一共有：
4×

P

4 4

=4×（4×3×2×1）=96种站法；

②小强在第三排右边的第一个位置时，小蛙可以是第一排和第二排的任意一个位置，还可以是第三排最左边的位置，
1+2+1=4种位置；
其他4人进行全排列，一共有：
4×

P

4 4

=4×（4×3×2×1）=96种站法；

③小强在第三排的中间位置时，小蛙可以是第一排和第二排的任意一个位置，有1+2=3种方法；
其他4人进行全排列，一共有：
3×

P

4 4

=3×（4×3×2×1）=72种站法；
96+96+72=264（种）；

综上所述，站法一共有：
120+192+264=576（种）
答：一共有576种站法．

点评：解决本题注意分类计数和分步计数方法的运用，先进行分类，然后找出每一类的选择方法，然后相加．