题目内容
老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是多少？
考点：公约数与公倍数问题
专题：整除性问题
分析：因为5！=5×4×3×2×1=23×3×5，10！=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=28×34×52×7，所以所求的四位数必须满足：因数2的个数是3～8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，又因为这个四位数是5的倍数，所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；然后分类讨论，求出满足条件的四位数有哪些即可．
解答：
解：5！=5×4×3×2×1=23×3×5，10！=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=28×34×52×7，
所求的四位数必须满足：因数2的个数是3～8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，
因为这个四位数是5的倍数，
所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；
通过分析，满足条件的四位数有：
（1）因数5的个数是3个的四位数有1个：23×3×53=3000；
（2）不含因数5，含有因数7的四位数有：
7×34×23=4536；7×33×23=1512；7×33×24=3024；7×32×24=1008；
7×32×25=2016；7×32×26=4032；7×3×26=1344；7×3×27=2688；
（3）不含因数5，不含因数7的四位数有：
34×24=1296；34×25=2592；33×26=1728；33×27=3456；
32×27=1152；32×28=2304．
所以这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．
答：这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．
所求的四位数必须满足：因数2的个数是3～8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，
因为这个四位数是5的倍数，
所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；
通过分析，满足条件的四位数有：
（1）因数5的个数是3个的四位数有1个：23×3×53=3000；
（2）不含因数5，含有因数7的四位数有：
7×34×23=4536；7×33×23=1512；7×33×24=3024；7×32×24=1008；
7×32×25=2016；7×32×26=4032；7×3×26=1344；7×3×27=2688；
（3）不含因数5，不含因数7的四位数有：
34×24=1296；34×25=2592；33×26=1728；33×27=3456；
32×27=1152；32×28=2304．
所以这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．
答：这样的四位数有15个：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．
点评：此题主要考查了约数和倍数问题的应用，解答此题的关键是判断出：所求的四位数中因数2的个数是3～8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，因数5的个数是0或3个．
练习册系列答案
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