Question

（1）n条直线，最多把平面分成几个部分？
（2）n个平面，最多把空间分成几个部分？

Answer 1

分析：（1）先分别求得1条、2条、3条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数，总结规律，进而求解．
（2）根据平面中的几何元素与空间中几何元素的对应关系：线对应面、面对应体，理解空间是怎么被分割的，找到关系式，再类比数列中的累加法即可得解．

解答：解：（1）1条直线，将平面分为两个区域；
2条直线，较之前增加1条直线，增加了2个平面区域；
3条直线，与之前两条直线均相交，增加了3个平面区域；
…
n条直线，与之前n-1条直线均相交，增加n个平面区域；
所以n条直线分平面的总数为1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

．
故n条直线，最多把平面分成

n2+n+2

2

个部分；

（2）假设n个平面可把空间分成f（n）部分，再加上第n+1个平面后可把空间分成f（n+1）部分，
因为第n+1个平面与前n个平面都相交，
所以第n+1个平面内有n交线，且这n条直线最多可把第n+1个平面分成1+

n(n+1)

2

部分，
又因为平面的每一部分可把它原来所在的空间分成2部分，
所以f（n+1）=f（n）+1+

n(n+1)

2

，
f（n+1）-f（n）=1+

n(n+1)

2

=1+

n2

2

+

n

2

，
f（2）-f（1）=1+

12

2

+

1

2

，
f（3）-f（2）=1+

22

2

+

2

2

，
…
f（n）-f（n-1）=1+

(n-1)2

2

+

n-1

2

，
上式相加得：f（n）-f（1）=（n-1）+

1

2

×

n(n+1)(2n+1)

6

+

1

2

×

(n-1)n

2

=（n-1）+

2n3+3n2+n

12

+

n2-n

4

=

n3+5n

6

-1，
则f（n）=

n3+5n

6

+1=

1

6

（n³+5n+6）．
故n个平面，最多把空间分成

1

6

（n³+5n+6）个部分．

点评：（1）本题是规律探寻题，理清数据的发生、发展规律是解题的关键．此类题型具有一定的技巧性，同学们需要注意．
（2）本题考查归纳推理，需要有比较好的抽象思维，同时考查累加法的应用，属难题．