Question

如图，长方形ABCD的长BC=15cm．宽AB=6cm．在AD上有一点E，使得DE=2AE．长方形ABCD的对角线交点为O．连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接OF与AD相交于点G．则阴影部分的面积为

 

cm²．

Answer 1

考点：相似三角形的性质（份数、比例）

专题：平面图形的认识与计算

分析：DE=2AE可知：DE=

2

3

BC，延长GO交BC与M点；ED∥BC可知：△FED∽△FBC，FD=

2

3

FC；△FGD∽△FMC，GD=

2

3

MC；△AOG≌△COM，AG=MC，再由AG+GD=15厘米进行代换求出AG的长度，进而求出EG的长度，再从O点做出△EOG的高，这个高的长度是长方形ABCD宽的一半，进而根据三角形的面积公式求出△EOG的面积．

解答： 解：如图：延长GD交BC于M点，做△EOG的高ON；                                                                                                   

DE=2AE，
那么AE=

1

3

AD=15×

1

3

=5（厘米）；
DE=

2

3

AD=

2

3

BC；                                                                                                    
因为ED∥BC，
所以∠FED=∠FBC；
∠FDE=∠FBC，
又因为：△FED∽△FBC，
所以：ED=

2

3

BC，FD=

2

3

FC；
同理：因为GD∥MC，
△FGD∽△FMC，
GD=

2

3

MC；
因为∠DAC=∠ACB，AO=CO，∠AOG=∠MOC，
所以△AOG≌△COM，
那么：AG=MC；
GD=

2

3

AG，
AG+GD=15，
AG+

2

3

AG=15，
AG=9（厘米）；
所以：EG=AG-AE=9-5=4（厘米）；
ON=

1

2

AB=

1

2

×6=3（厘米）；
S_△EOG=

1

2

×4×3=6（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是6平方厘米．
故答案为：6．

点评：本题根据相似三角形边之间的比例关系以及全等三角形边之间的关系，求出EG的长度，再求出EG边上高的长度，根据三角形的面积公式求解即可．