Question

有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商（＞1）与余数（＞0）之和都相等，这样的数最小可能是

1081

．

Answer 1

分析：首先抓住余数与商的和相同，设出这个未知数，进一步设出三个数的商，表示出三个数，找出三个数的商之间的关系，设出三个数的公约数，利用余数之间的关系求得三个数的商，由此分析得出结论．

解答：解：设商和余数之和为k，商分别为x，y，z，
则15x+k-x=17y+k-y=19z+k-z，
即14x=16y=18z，7x=8y=9z；
设x，y，z的最大公约数为p，则
x=72p，y=63p，z=56p，
另一方面，有 0＜k-x＜15，0＜k-y＜17，0＜k-z＜19；
即 0＜k-72p＜15，0＜k-63p＜17，0＜k-56p＜19；
由k-72p＜k-63p＜17 得 9p＜17，
那么p＜

17

9

；
由k-72p＜k-56p＜19得p＜

19

16

；
即p只能为1
那么，x=72，y=63，z=56；
15x=1080，17y=1071，19z=1064；
而1064+19=1083，
那么所求的奇自然数小于1083（否则z＞19）
但它大于1080（因为它除以15的余数大于0），
所以它只能是1081．
故答案为：1081．

点评：此题考查利用有余数的除法，抓住商、余数、除数、被除数之间的关系和最大公约数等知识综合性的解决问题．