Question

【题目】（4分）如图，正方形跑道的周长为360米，甲、乙两人同时从正方形跑道的A点出发，按顺时针方向行进，甲的速度始终为5米/秒；乙最初的速度为6米/秒，第一次拐弯后速度减少，第二次拐弯后速度增加，第三次拐弯后速度减少，第四次拐弯后速度增加…如此下去．请问：出发后多少秒甲、乙两人第1次相遇，相遇地点在何处？出发后多少秒他们第100次相遇，相遇地点在何处？（注意：两人在一起即为相遇．）

Answer 1

【答案】出发后30秒后甲、乙两人第1次相遇，相遇地点在离点D60米处；出发后360000秒他们第100次相遇，相遇地点在点A处．

【解析】

试题分析：乙的速度6×（1﹣）=4，4×=6，乙的速度由A→D→C→B→A，变化如下，6→4→6→4→6，A→D时，甲到D用了18秒，乙用了15秒，乙速度变为4米/秒，甲到点C用36秒，乙到点C用15+90÷4=37.5秒，所以第一次相遇一定在线段DC的某一处相遇；

据此推理第二次在线段BC上的中点相遇；

第三次在线段AB上离点A60米处相遇；

第四次恰好在点D处相遇，从此开始甲领先于乙，所以要想相遇，只能是甲比乙多跑一圈，据此解答即可．

解：（1）乙的速度：

6×（1﹣）=4（米/秒），

4×=6（米/秒），

所以乙的速度由A→D→C→B→A，变化如下，6→4→6→4→6

360÷4=90（米）

90÷5=18（秒）

90÷6=15（秒）

90÷4=22.5（秒）

甲从点A到点C用：18×2=36（秒），

乙从点A到点C用：15+22.5=37.5（秒）

所以甲乙两人一定在线段DC的某一处相遇；

设x秒第一次相遇，由题意得：

90+5（x﹣18）=90+4（x﹣15）

解得：x=30

30×5=150（米）

150﹣90=60（米）

答：出发后30秒后甲、乙两人第1次相遇，相遇地点在离点D60米处．

（2）第1次相遇在DC上，第2次再CB上，第3次在BA上．第四次相遇正好在点D上；第2圈，2人在D点相遇后．从D点开始，甲将一直领先乙．因此第5次相遇必然只能是甲比乙多跑了一圈．

乙的平均速度=（90+90）÷（90÷6+90÷4）=4.8（米/秒）

故时间大致：360÷（5﹣4.8）=1800（秒）

甲跑了1800×5÷360=25（圈）

乙跑了1800÷75=24（圈）

所以第5次相遇之后，2人会持续之前的过程．故第100次相遇时间为：

1800×20=360000（秒），地点在A．

答：出发后360000秒他们第100次相遇，相遇地点在点A处．