Question

已知正整数a与b之和为432，a和b的最小公倍数与最大公因数的和为7776，请问a和b的乘积是多少？

Answer 1

考点：求几个数的最大公因数的方法,求几个数的最小公倍数的方法

专题：数的整除

分析：根据两数的最小公倍数的意义及求法、最大公因数的意义及求法，弄清数量关系，设出这两个数，然后进行推理求解．

解答： 解：设a、b两数的最大公约数M，令两数为a=AM、b=BM，AB互质，最小公倍数为ABM
AM+BM=（A+B）M=432=2⁴×3³ …①
ABM+M=（AB+1）M=7776=2⁵×3⁵ …②
则②÷①得（AB+1）÷（A+B）=2×3²=18
AB+1=18A+18B
等式右为偶数，则AB奇数，则A、B必然同为奇数．
（B-18）A=18B-1
A=（18B-1）÷（B-18）=（18B-324+323）÷（B-18）=18+323÷（B-18）
323=17×19 能被B-18整除，则有：
①B-18=17，B=35，A=37
或B-18=19，B=37，A=35
M=432÷（35+37）=6
两个数就是 a=35×6、b=37×6
或交换顺序两个数的乘积=35×6×37×6=（7776-6）×6=46620
②B-18=323，B=341，A=1
M=432÷（323+1）不为整数，舍弃
综上，ab两个数是210、222，其乘积为46620．
答：a和b的乘积是46620．

点评：此题解题的关键是理解题意，弄清数量间的关系，明确最大公约数和最小公倍数的含义，进而推理计算得出结论．