Question

以100为分母的所有最简真分数的和等于

20

．

Answer 1

分析：设以100为分母的最简真分数为

p

100

，且1≤p≤99．因为

p

100

是最简分数，所以p和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5．然后分类讨论：以2为因数小于100的数（偶数）之和；以5为因数小于100的数之和；以10为因数小于100的数之和．进而得出小于100且不以2或5为因数的数之和，进一步解决问题．

解答：解：设以100为分母的最简真分数为

p

100

，且1≤p≤99．
因为

p

100

是最简分数，所以p和100不能有大于1的公因数，即p不能有因数2和5．
以2为因数小于100的数（偶数）之和为：
2+4+6+…+96+98=49×50=2450．
以5为因数小于100的数之和为：
5+10+15+…+90+95=

5

2

×19×20=950．
以10为因数小于100的数之和为：
10+20+30+…+90=

10

2

×9×10=450．
小于100且不以2或5为因数的数之和为：
2450+950-450=2950．
所以以100为分母的所有最简真分数的和等于：
（

1

100

+

2

100

+…+

99

100

）-

2950

100

=

1

100

×

99×100

2

-29.5
=20．
故答案为：20．

点评：此题如果找出以100为分母的所有最简真分数，再进行计算，很很麻烦，因此寻求解题捷径，轻而易举地解决问题．