Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面底面， 和都是边长为2的正三角形.

（Ⅰ）过作出三棱柱的截面，使截面垂直于，并证明；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设AB中点为O，连OC，OB1，B1C，则截面OB1C为所求，通过证明AB⊥OC，AB⊥OB1，推出AB⊥平面OB1C．

（Ⅱ）以O为原点，OB方向为x轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BCC1B1的一个法向量，利用公式即可求得AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

试题解析：

（Ⅰ）设中点为，连，则截面为所求，

分别为的中线，所以，

又为平面内的两条相交直线，所以平面，

（Ⅱ）以为原点， 方向为轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，

易求得，

，

设平面的一个法向量为，

由解得平面的一个法向量为，…10分

，

所以与平面所成角的正弦值为