Question

M、N是互为反序的两个三位数，且M＞N．请问：
（1）如果M和N的最大公约数是7，求M； 
（2）如果M和N的最大公约数是21，求M．

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题,位值原则

专题：整除性问题

分析：设M=abc，N=bca，则M-N=100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）；
（1）因为M和N的最大公约数是7，所以M与M-N的最大公约数也是7，可得99（a-c）是7的倍数，所以a-c=7，解得

a=9 c=2

或

a=8 c=1

，所以M=9b2或M=8b1，然后根据是7的倍数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，求出b的值，进而求出M的值即可；
（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍数，所以它即是7的倍数，又是3的倍数，然后根据是7、3的倍数的特征，求出b的值，进而求出M的值即可．

解答： 解：设M=abc，N=bca，则M-N=100a+10b+c-（100c+10b+a）=99a-99c=99（a-c）；
（1）因为M和N的最大公约数是7，
所以M与M-N的最大公约数也是7，
可得99（a-c）是7的倍数，
所以a-c=7，
解得

a=9 c=2

或

a=8 c=1

，
M=9b2或M=8b1，M是7的倍数，
①当M=9b2时，
可得90+b-4=86+b是7的倍数，
此时b=5，M=952；
②当M=8b1时，
可得80+b-2=78+b是7的倍数，
此时b=6，M=861，N=168，
因为861、168的最大公约数是21，
所以不符合题意，舍去；
综上，如果M和N的最大公约数是7，则M=952；

（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍数，
所以它即是7的倍数，又是3的倍数，
解得M=861，N=168．
所以如果M和N的最大公约数是7，则M=861．

点评：此题主要考查了公约数与公倍数问题的应用，解答此题的关键是判断出：M与M-N的最大公约数也是7．