Question

（2010?伊春）简便计算．
（1）

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

（2）1

1

4

×17.6+36÷

4

5

+2.64×12.5
（3）56²-55²+54²-53²+…+2²-1²
（4）（2007×2008×2009×2010+1）-（2008²+2007）²．

Answer 1

分析：（1）每相邻的两个分数，它们的分母被分解后，都含有相同的因数，把分母改为因数相乘的形式；再把每个分数变形为分数相减的形式，通过加、减数相抵消的方法，可简算出结果；
（2）此题先把除法改成乘法，把12.5改为

50

4

，原式变为

5

4

×17.6+36×

5

4

+2.64×

50

4

，然后把

50

4

写成

5

4

×10，利利用乘法分配律的逆运算简算；
（3）此题中每两个相减数的差等于去掉平方后两个数的和，因此运用求和公式简算即可；
（4）此题如果直接计算是行不通的，要注意数的拆项，应用运算定律进行简算．

解答：解：（1）

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

，
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

8×9

+

1

9×10

，
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

8

-

1

9

）+（

2

9

-

1

10

），
=1-

1

10

，
=

9

10

；
（2）1

1

4

×17.6+36÷

4

5

+2.64×12.5，
=

5

4

×17.6+36×

5

4

+2.64×

50

4

，
=

5

4

×17.6+36×

5

4

+2.64×

5

4

×10，
=（17.6+36+26.4）×

5

4

=80×

5

4

，
=100；
（3）56²-55²+54²-53²+…+2²-1²，
=（56+55）+（54+53）+…+（2+1），
=（56+1）×56÷2，
=57×56÷2，
=1596；
（4）（2007×2008×2009×2010+1）-（2008²+2007）²，
设a=2008
原式=（a-1）×a×（a+1）×（a+2）+1-（a²+a-1）²
=[（a-1）（a+2）][a×（a+1）]+1-（a²+a-1）²
=[（a²+a）-2]（a²+a）+1-（a²+a-1）²
=（a²+a）²-2（a²+a）+1-（a²+a-1）²
=（a²+a-1）²-（a²+a-1）²
=0．

点评：此题设计新颖别致，要从数字特点出发，通过数字变形，巧妙灵活的运用所学知识，得以简算．