题目内容

先阅读下列例题，然后进行解答：
例：计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
9×10

解：因为，
1
1×2
=
1
1
-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…
1
9×10
=
1
9
-
1
10

所以，
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…
1
9×10
=
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
…+
1
9
-
1
10
=1-
1
10
=
9
10

请根据你的理解解答下列各题：
（1）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012

（2）计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
17×19
．
分析：我们可以利用例式可以看出：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…
1
9×10
=
1
9
-
1
10
；把算式都加想来：=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
-…+
1
9
-
1
10
；从第二项开始就会出现减一个分数在加上同一个分数，到最后整理只会得到第一项的数和最后一项的数．故：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012
=1-
1
2012
=
2011
2012
．算式（2）也是：
1
1×3
=1-
2
3
；
1
3×5
=
2
3
-
3
5
；
1
5×7
=
3
5
-
4
7
；…
1
17×19
=
9
17
-
10
19
；把算式加到一起整理后得：1-
10
19
=
8
19
，故是结果是：
8
19
．
解答：（1）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2011×2012

解：=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2011
-
1
2012

=1-
1
2012

=
2011
2012

（2）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
17×19

解：=1-
2
3
+
2
3
-
3
5
+
3
5
-
4
7
+…+
9
17
-
10
19

=1-
10
19

=
9
19
点评：我们要利用例题给我们的规律进行延伸计算，数在展开后，整理完到最后只剩下第一项和最后一项，进行计算．
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