Question

请观察下列算式，找出规律并填空.

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

（1）则第10个算式是

1

10×11

=

1

10

-

1

11

，
（2）第n个算式为：

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（3）根据以上规律解答下题：
若有理数a，b满足a=1，b=3，试求

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+…+

1

(a+100)(b+100)

的值．

Answer 1

分析：（1）（2）根据特例，分母为两个自然数的乘积，这个分数可以拆成两个分数相减的形式；
（3）把a=1，b=3代入算式，即

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

101×103

，然后把每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相互抵消，得出结果．

解答：解：（1）

1

10×11

=

1

10

-

1

11

；

（2）

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（3）

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+…+

1

(a+100)(b+100)

，
=

1

1×3

+

1

(1+2)×(3+2)

+

1

(1+4)×(3+4)

+…+

1

(1+100)×(3+100)

，
=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

101×103

，
=

1

2

×[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

101

-

1

103

）]，
=

1

2

×[1-

1

103

]，
=

1

2

×

102

103

，
=

51

103

；
故答案为：

1

10×11

，

1

10

-

1

11

，

1

n×(n+1)

，

1

n

-

1

n+1

．

点评：通过分数的拆分计算的题目，使拆分后的分数能够通过加减相互抵消，达到简算的目的．