题目内容
分母为1992的所有最简分数之和是多少？
分析：因为1992=3×8×83，因此分母为1992的最简分数的分子不能是2的倍数、3的倍数和83的倍数．写出这样的分数，再计算．
解答：解：分母为1992，分子不是2或3的倍数且小于1992的所有分数是：
、
、
、
、
、…、
、
、
；
这些数可以分成两类：一是分子被6除余1，二是分子被6除余5，即
S1=
+
+
+…+
；
S2=
+
+…+
+
；
其中含有分子是83的倍数，这S1与S2的和减去这些倍数即为所求．
S1、S2的分子成等差数列，S1的分子为1、7、13、、1987，共有（1987-1）÷6+1=332个数，S2的分子为5、11、17、、1985、1991，共有（1991-5）÷6+1=332个数，所以
S1+S2=
-
-
-
-…-
，
=
×（1+7+13+…+）+
×（5+11+17+…+1991）-
×（1+5+7+13+17+19+23），
=
×
+
×
-
×96，
=
+
-4，
=328．
答：和是328．
| 1 |
| 1992 |
| 5 |
| 1992 |
| 7 |
| 1992 |
| 11 |
| 1992 |
| 13 |
| 1992 |
| 1985 |
| 1992 |
| 1987 |
| 1992 |
| 1991 |
| 1992 |
这些数可以分成两类：一是分子被6除余1，二是分子被6除余5，即
S1=
| 1 |
| 1992 |
| 7 |
| 1992 |
| 13 |
| 1992 |
| 1987 |
| 1992 |
S2=
| 5 |
| 1992 |
| 11 |
| 1992 |
| 1985 |
| 1992 |
| 1991 |
| 1992 |
其中含有分子是83的倍数，这S1与S2的和减去这些倍数即为所求．
S1、S2的分子成等差数列，S1的分子为1、7、13、、1987，共有（1987-1）÷6+1=332个数，S2的分子为5、11、17、、1985、1991，共有（1991-5）÷6+1=332个数，所以
S1+S2=
| 83 |
| 1992 |
| 83×5 |
| 1992 |
| 83×11 |
| 1992 |
| 83×13 |
| 1992 |
| 83×23 |
| 1992 |
=
| 1 |
| 1992 |
| 1 |
| 1992 |
| 83 |
| 1992 |
=
| 1 |
| 1992 |
| (1+1987)×332 |
| 2 |
| 1 |
| 1992 |
| (5+1991)×332 |
| 1992 |
| 83 |
| 1992 |
=
| 497 |
| 3 |
| 499 |
| 3 |
=328．
答：和是328．
点评：写出这样的数组成数列，再根据数列找出规律，再计算即可．
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