Question

使2ⁿ-1能被7整除，问自然数n可取哪些值？

Answer 1

分析：把2ⁿ写成为二进制数2ⁿ_（10）=1000…0_（2）（n个零），
所以 2ⁿ-1=100…00_（2）-1_（2）=111…1_（2），
而7_（10）=111_（2）．因此，只需要求出111…1_（2）÷111_（2）的整除数有多少即可．
然后分情况探讨，推出结果．

解答：解：把2ⁿ写成为二进制数2ⁿ_（10）=1000…0_（2）（n个零）
所以 2ⁿ-1=100…00_（2）-1_（2）=111…1_（2）
而7_（10）=111_（2）．因此，只需要求出111…1_（2）÷111_（2）的整除数有多少即可．
由上面可直接看出，能整除的情况有：
当n=3时，111_（2）÷111_（2）=1_（2）；
当n=6时，111111_（2）÷111_（2）=1001_（2）；
当n=9时，111111111_（2）÷111_（2）=10011001_（2）；
…
当n=3m时，111…1_（2）能被111_（2）整除，否则就会出现余数1_（2）或11_（2）．
因此，自然数n=3m（m为自然数）时，2ⁿ-1能被7整除．

点评：此题解答有一定难度，要掌握“二进制”的特点．