Question

19．甲、乙两瓶中各有2004克水，第一次把甲瓶里的$\frac{1}{2}$倒入乙瓶，第二次把乙瓶的$\frac{1}{3}$倒入甲瓶，第三次把甲瓶里的$\frac{1}{4}$倒入乙瓶，第四次把乙瓶里的$\frac{1}{5}$倒入甲瓶…就这样一共倒了2003次，这时甲瓶内还有多少克水？

Answer 1

分析 甲、乙两瓶中各有2004克水，最初：把甲看为“1”，乙也为“1”，第一次：甲为1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，乙为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，第二次：甲为$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{3}$=1，乙为$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{3}$=1，第三次：甲为1-1$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，乙为1+1×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，第1四次：甲为$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{4}$×$\frac{1}{5}$=1，乙为$\frac{5}{4}$-$\frac{5}{4}$×$\frac{1}{5}$=1，第五次：甲为1-1×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$，乙为1+1×$\frac{1}{6}$=$\frac{7}{6}$，以此类推，偶数次，第2004次时都为1，即2004克；奇数次，第2003次时甲为1-$\frac{2003}{2004}$=$\frac{2003}{2004}$，解决问题．

解答 解：第一次：甲为1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，乙为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
第二次：甲为$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{3}$=1，乙为$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{3}$=1，
第三次：甲为1-1$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，乙为1+1×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
第四次：甲为$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{4}$×$\frac{1}{5}$=1，乙为$\frac{5}{4}$-$\frac{5}{4}$×$\frac{1}{5}$=1，
第五次：甲为1-1×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$，乙为1+1×$\frac{1}{6}$=$\frac{7}{6}$，
以此类推，…，
偶数次时都为1，所以第2004次即2004克；
奇数次时，甲为1-$\frac{n}{n+1}$，所以第2003次甲为1-$\frac{2003}{2004}$=$\frac{2003}{2004}$，即2004×$\frac{2003}{2004}$=2003（克）．
答：这时甲瓶内还有2003克水．

点评 通过探索，找出规律，据此规律进行解答．