Question

100个杯子杯口朝上排成一行，顺次从1到100编号，有100位学生，第一位学生把编号能被1整除的杯子翻一下，第二位学生把编号能被2整除的杯子翻一下，第三位学生把编号能被3整除的杯子翻一下，…，第100位学生把编号能被100整除的杯子翻一下，那么最终有

90

个杯子杯口朝上．

Answer 1

分析：这道题其实是求一个数的约数的个数，由于一个完全平方数数的个数永远都是奇数，那么其被翻动的次数就是奇数次，这一类数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个，所以这些编号的杯子，都被翻动了奇数次，所以这些编号杯口都是朝下的，而除了以上10个数以外，都是非完全平方数，约数的个数是偶数，因此最后杯口都是朝上的，即最终杯口朝上的杯子有100-10=90个．

解答：解：杯口原来全部向上，
则翻动奇数次时，杯中向下，偶数次时杯口向上；
由于完全平方数约数的个数永远都是奇数，
所以编号为、4、9、16、25、36、49、64、81、100的这10个杯子都被翻动了奇数次，
即这些编号杯口都是朝下的．
除了以上10个数以外，都是非完全平方数，约数的个数是偶数，即被翻动了偶数次，
因此最后杯口都是朝上的，即最终杯口朝上的杯子有100-10=90（个）．
故答案为：90．

点评：了解数的约数的奇偶性是完成本题的关键．