Question

将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）²=3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？

Answer 1

分析：设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）²=100x+y=x+y+99x，即：（x+y）（x+y-1）=99x，
从而看出x+y与x+y-1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出满足条件的三个数：45，55和99，然后求出它们的平方数即可．

解答：解：设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）²=100x+y=x+y+99x，
即：（x+y）（x+y-1）=99x，
从而看出x+y与x+y-1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），
可以找出满足条件的三个数：45，55和99，平方得2025，3025，9801；
即符合：（20+25）²=2025；
（30+25）²=3025；
（98+1）²=9801；
答：在四位数中的卡不列克怪数有：2025，3025，9801．

点评：此题考查了完全平方的性质，解答此题应认真分析，明确x+y与x+y-1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数，是解答此题的关键．