Question

（1）请说明：在任意的68个自然数中，必有两个数的差是67的倍数；
（2）请说明：在1，11，111，1111，…，这一列数中必有一个是67的倍数．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：（1）根据被67除的余数为0、1、2、3、4、…66设立67个抽屉，进一步有抽屉原理解决问题；
（2）根据被67除的余数是1，2，3，…，66，共66种可能．根据抽屉原理，任找67个数，必有两个数除以67的余数相同．进一步探讨得出答案即可．

解答： 解：（1）被67除的余数为0、1、2、3、4、…66设立67个抽屉，对于任意的68个自然数，至少有两个数在同一个抽屉里，也就是余数相同，这两个数的和一定是67的倍数；

（2）假设都不能被67整除，那么可能的余数是1，2，3，…，66，共66种可能．根据抽屉原理，任找67个数，必有两个数除以67的余数相同．设这两个数分别是1…1（m个1）和1…1（n个1），n＜m，则这两个数之差是1…10…0（m-n个1，n个0），这个差能被67整除．这个差可写成1…1×10ⁿ的形式（m-n个1），而10ⁿ与67互质，所以1…1（m-n个1）能被67整除．

点评：此题考查抽屉原理的实际运用，关键是建立抽屉，注意抽屉的数量和所求问题之间的联系．