Question

观察并填空

1

2

=

1

1×2

=1-

1

2

    

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

     

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

  

1

20

=

1

4×5

=（　　）-（　　）
 

1

n(n+1)

（　　）-（　　）
一般地：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

依据以上规律：
计算：1

1

2

+2

1

6

+3

1

12

+4

1

20

+5

1

30

+6

1

42

+7

1

56

+8

1

72

+9

1

90

．

Answer 1

分析：通过仔细观察特例，每个分数的分母都是两个连续自然数的乘积，因此可以把每个分数拆成两个分数相减的形式，然后通过加减相互抵消，得出结果．

解答：解：1

1

2

+2

1

6

+3

1

12

+4

1

20

+5

1

30

+6

1

42

+7

1

56

+8

1

72

+9

1

90

，
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

），
=（1+9）×9÷2+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

6

-

1

7

+

1

7

-

1

8

+

1

8

-

1

9

+

1

9

-

1

10

），
=45+（1-

1

10

），
=45+

9

10

，
=45

9

10

．

点评：此题中把分数拆成整数和分数两部分后，每个分数属于两个连续自然数的乘积的形式，凡是这类型的分数，都可以把每个分数拆分成两个分数相减的形式．