Question

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质解答；
（2）运用全等三角形和相似三角形的性质，求出

S△ABA1

S△CBC1

=（

AB

BC

）²=（

4

5

）²=

16

25

，进而解决问题；
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

5

2

2

；然后进行讨论，求得线段EP₁长度的最大值与最小值．

解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
所以∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
所以∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．
（2）因为△ABC≌△A₁BC₁，
所以BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，

AB

BC

=

BA

BC1

，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
所以∠ABA₁=∠CBC₁，
所以△ABA₁∽△CBC₁．
所以，

S△ABA1

S△CBC1

=（

AB

BC

）²=（

4

5

）²=

16

25

，
因为S_△ABA1=4，
所以S_△CBC1=

25

4

；
（3）如图
，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

5

2

2

；
①当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=

5

2

2

-2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=2+5=7．

点评：分析图形，根据图形特点运用旋转的性质，以及三角函数等知识，解决问题．