Question

一个五位回文数，它是7的倍数；如果将它的十位和个位互换，新得的五位数是11的倍数；如果将它的十位和百位互换，新得的五位数是13的倍数．那么，原五位数为

92029

．

Answer 1

分析：据题可设这个回文数为abcba，则abcba能被7整除，abcab能被11整除，abbca能被13整除；根据能被7、13、11整除的特征可知：（cab-ab）能被7整除，（cba-ab）能被11整除，（bca-ab）能被13整除．通过观察可知，c=0．则（ba-ab）除以7=9（b-a），（b0a-ab）除以13=9（11b-a）．所以，b-a=13，11b-a=13．如果b-a=0，则13=90b，这不可能，剩下只可能ab=18，29，70，81，92之一，经检验只有92符合13|（11b-a），所以原五位数为92029．

解答：解：设原数为

.

abcba

，则有7|

.

abcba

，11|

.

abcab

，13|

.

abbca

．
也就是7|

.

cba

-

.

ab

，11|

.

cab

-

.

ab

，13|

.

bca

-

.

ab

．
观察得c=0，7|

.

ba

-

.

ab

=9(b-a)，13|

.

b0a

-

.

ab

=9(11b-a)．所以，（b-a） 被7整除，（11b-a）能被13整 除．
如果b-a=0，则13|90b，这不可能．
剩下只可能

.

ab

=18，29，70，81，92之一，经检验只有92符合13|（11b-a），所以原五位数为92029．
故答案为：92029．

点评：能被7、13、11整除数的特征（实际是一个方法）是这样的：将一个多于4位的整数在百位与千位之间分为两截，形成两个数，左边的数原来的千位、万位成为个位、十位（依次类推）． 将这两个新数相减（较大的数减较小的数），所得的差不改变原来数能被7、11、13整除的特性．