Question

8．已知$\frac{1}{7}$=0.$\stackrel{•}{1}$4285$\stackrel{•}{7}$，那么$\frac{1}{7}$化为小数后，
（1）小数点后第100个数字是多少？
（2）小数点后前100个数字之和是多少？

Answer 1

分析 （1）$\frac{1}{7}$=0.$\stackrel{•}{1}$4285$\stackrel{•}{7}$，循环节是142857，因为100÷6=16…4，所以循环节的第四个数是第100个数字，即8．
（2）小数点后100个数字的和，即16个循环节的和，加上循环节的前四个数的和，即16×（1+4+2+8+5+7）+（1+4+2+8），计算即可得解．

解答 解：（1）$\frac{1}{7}$=0.$\stackrel{•}{1}$4285$\stackrel{•}{7}$，是个循环小数，每6个数为一个循环，循环的顺序是1、4、2、8、5、7．
100÷6=16（个）…4（个）．
因余4个数，循环的顺序是1、4、2、8、5、7，所以小数点后第100个数字是8．
答：小数点后第100个数字是8．

（2）小数点后前100个数字是1、4、2、8、5、7循环16次，后面是1、4、2、8；
所以，前100个数字之和是：
16×（1+4+2+8+5+7）+（1+4+2+8）
=16×27+15
=432+15
=447；
答：小数点后前100个数字之和是447．

点评 本题的关键是找出循环的规律，再根据余数的位数进行解答．