题目内容
已知正整数a、b、c满足a+b+c+ab+ac+bc+abc=1000．求a、b、c的值．
考点：不定方程的分析求解
专题：传统应用题专题
分析：我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=1001，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而1001只可分解为7×11×13所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为7、11、13据此可得a、b、c分别为6、10、12．
解答：
解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=1000，
a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）-1=1000
（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=1001
（1+b）（c+1+a+ac）=1001
（1+b）（c+1）（a+1）=1001
1001只能分解为7×11×13
所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为7、11、13
所以a、b、c也只能分别为6、10、12
答：a、b、c的值分别是6、10、12．
a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）-1=1000
（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=1001
（1+b）（c+1+a+ac）=1001
（1+b）（c+1）（a+1）=1001
1001只能分解为7×11×13
所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为7、11、13
所以a、b、c也只能分别为6、10、12
答：a、b、c的值分别是6、10、12．
点评：本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．
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