P是抛物线x2=

1

2

(y-1)上的动点，点A（0，-1），点M在直线PA上且分PA所成的比为2：1，则点M的轨迹方程是（　　）

P是抛物线x2=

1

2

(y-1)上的动点，点A（0，-1），点M在直线PA上且分PA所成的比为2：1，则点M的轨迹方程是（　　）

A．x2= 1 6 (y+ 1 3 )

B．y2= 1 6 (x+ 1 3 )

C．x2= 1 3 (y- 1 3 )

D．x2=- 1 3 (y+1)

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是

1

2

时，

AC

=4

AB

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

一青蛙从点A₀（x₀，y₀）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是A_i（x_i，y_i）（i∈N^*），（如图所示，A₀（x₀，y₀）坐标以已知条件为准），S_n表示青蛙从点A₀到点A_n所经过的路程．
（1）若点A₀（x₀，y₀）为抛物线y²=2px（p＞0）准线上一点，点A₁，A₂均在该抛物线上，并且直线A₁A₂经过该抛物线的焦点，证明S₂=3p．
（2）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=x所表示的曲线上，要么落在y=x²所表示的曲线上，并且A0(

1

2

，

1

2

)，试写出

lim

n→+∞

Sn（不需证明）；
（3）若点A_n（x_n，y_n）要么落在y=2

1+8x

-1所表示的曲线上，要么落在y=2

1+8x

+1所表示的曲线上，并且A₀（0，4），求S_n的表达式．