10. 如图,已知梯形ABCD,点E分有向线段所成的比为,双曲线过CDE三点,且以AB为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围.

解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线ABx轴,建立直角坐标系xoy,则CDy轴.

因为双曲线经过点CD,且以AB为焦点,由双曲线的对称性知CD关于x轴对称.依题意,记A(-c,0),C(h),E(x0, y0),其中c=|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高.

由定比分点坐标公式得

x0==

设双曲线的方程为,则离心率

由点CE在双曲线上,将点CE的坐标和代入双曲线方程得

,            ①

.   ② 

由①式得   ,           ③

将③式代入②式,整理得

故     

由题设得,

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为.   

[探索题]如图,在双曲线的上支有三点,它们与点F(0,5)的距离成等差数列。

(1)       求

(2)       证明:线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标

解:(1)F双曲线的焦点,设准线为,离心率为

由题设有  ①

分别过ABCx轴的垂线,则由双曲线的第二定义有

代入①式,得

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍,有

AC的中垂线方程为

  (2)由于AC在双曲线上,所以有

相减得

故(2)式化为,易知此直线过定点

思维点拨:利用第二定义得焦半径,可使问题容易解决,中垂线过弦AC的中点,中点问题往往把AC的坐标代入方程,两式相减、变形,即可解决问题。

 0  433359  433367  433373  433377  433383  433385  433389  433395  433397  433403  433409  433413  433415  433419  433425  433427  433433  433437  433439  433443  433445  433449  433451  433453  433454  433455  433457  433458  433459  433461  433463  433467  433469  433473  433475  433479  433485  433487  433493  433497  433499  433503  433509  433515  433517  433523  433527  433529  433535  433539  433545  433553  447090 

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