例1 已知函数的图象上的一点及

临近一点则　　　　 .

解:

∴

例2 求在附近的平均变化率.

解:

所以

　 　所以在附近的平均变化率为

(二)平均变化率概念

1.上述问题中的变化率可用式子表示,

称为函数从到的平均变化率.

2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)

则平均变化率为

思考: 观察函数的图象

平均变化率表示什么?

(一)问题提出

问题1 气球膨胀率

　　 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是

如果将半径表示为体积的函数,那么

分析:

(1)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

(2)当从增加到时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考: 当空气容量从V₁增加到V₂时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

思考计算: 和的平均速度

在这段时间里,

在这段时间里,

探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程: 如图是函数的图像,

结合图形可知,,所以

虽然运动员在这段时间里的平均速度为,

但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.

导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

(15) 已知向量.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

(16)如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.

(17)已知两点M(-1,0), N(1, 0), 且点P使成公差小于零的等差数列.

(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线?

(Ⅱ)若点P的坐标为(x_0, y₀), 记θ为,的夹角, 求tanθ.

(18)中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且

(Ⅰ)求的值

(Ⅱ)设，求的值。

(11)已知向量，且A、B、C三点共线，则k=___

(12)已知向量与的夹角为120°,且||=2, ||=5,则(2-)·=　　　　 .

(13已知向量不超过5，则k的取值范围是_______

(14) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________

(1) 若，且，则向量与的夹角为　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 30°　　　　　　　　　　　 B　 60°　　 　　　　　　　　　　　C 　120°　　　　　　　　　　　　 D　 150°

(2) P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的(　 )

　A　 外心　　　　　　　 B　 内心　　　　　　　　 C　 重心　　　　　　　　 D　 垂心

(3)已知平行四边形ABCD中,　 =(3, 7 ), =(-2, 3 ), 对角线AC, BD交于点O,

则的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　　 )

　　　　 A 　(-, 5) 　　　　　　　　　B (-, -5)　　 　　　　　　　C (, -5) 　　　　　　　　　　D (, 5) 　

(4) 已知向量(　 　　　)

A　 30°　　　 　　　　　　　　 B　 60°　　　 　　　　　 C　 120°　 　 　　　　D　 150°

(5)为了得到函数y＝sin(2x-)的图像,可以将函数y＝cos2x的图像　　　　　　　　　 　　　　　　　(　　　 )

A 向右平移个单位长度　　　　　 B 向右平移个单位长度

C 向左平移个单位长度　　　　　 D 向左平移个单位长度

(6) 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 (－2，4)　　 　 B (－30，25)　　　 C (10，－5)　 　　　 D (5，－10)

(7) 在△ABC中，∠C=90°，则k的值是　　　　 　　　 ( 　　　)

A　 5　　 　　　 　　　　　　　　B　 －5　 　　 　　　　　　　C　 　 　　　　　　　　　　　　　　D　

(8) 已知、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| + 3 | =　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 　　　　　　　　　　　　B　 　　　　　　　　　　　　C　 　　　　　　　　　　　　　　D　 4

(9) 已知点A(，1)，B(0，0)C(，0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　　 )

A　 2　　 　　　　　　 B　 　 　　　　　　　　　　　　C　 －3 　　　　　　　　　　　　 D　 －

(10) 已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则　　　　　　 (　　　 )

A 　⊥　　 　　　　　　B 　⊥(－)　 　　　　C　　 ⊥(－) 　　　　　　　D　 (+)⊥(－)

25.(09年重庆卷)(19分)如题25图，离子源A产生的初速为零、带电量均为e、质量不同的正离子被电压为U₀的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板HM上的小孔S离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入磁感应强度为B的匀强磁场。已知HO=d，HS=2d，=90°。(忽略粒子所受重力)

(1)求偏转电场场强E₀的大小以及HM与MN的夹角；

(2)求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径；

(3)若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点处，质量为16m的离子打在处。求和之间的距离以及能打在NQ上的正离子的质量范围。

解析：