摘要：则直线的方程为: ,其中点的坐标为; ---------9分
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已知中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆C；其长轴长等于4,离心率为
．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点
(0,1), 问是否存在直线
与椭圆
交于
两点,且
？若存在,求出
的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中，可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又
,所以
,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
第二问中，
假设存在这样的直线
,设
,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MN
EF所以
(i)其中若
时,则K=0,显然直线
符合题意;
(ii)下面仅考虑
情形:
由
,得,
,得
代入1,2式中得到范围。
(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
(Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
则
．
代入①式得,解得
………………………………………12分
代入②式得
,得
．
综上(i)(ii)可知,存在这样的直线
,其斜率k的取值范围是
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下列五个命题，其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）．
（1）已知C：
+
=1（m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．
（2）在椭圆
+
=1上有一点P，F1、F2是椭圆的左，右焦点，△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个．
（3）曲线
+
=1(m＜6)与曲线
+
=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）渐近线方程为y=±
x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是
-
=1
（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，
)．
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（1）已知C：
| x2 |
| 2-m |
| y2 |
| m2-4 |
（2）在椭圆
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 20 |
（3）曲线
| x2 |
| 10-m |
| y2 |
| 6-m |
| x2 |
| 5-m |
| y2 |
| 9-m |
（4）渐近线方程为y=±
| b |
| a |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，
| 1 |
| 4a |
下列五个命题，其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）．
（1）已知C：
+
=1（m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．
（2）在椭圆
+
=1上有一点P，F1、F2是椭圆的左，右焦点，△F1PF2为直角三角形则这样的点P有8个．
（3）曲线
+
=1(m＜6)与曲线
+
=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）渐近线方程为y=±
x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是
-
=1
（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，
)．
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（1）已知C：
| x2 |
| 2-m |
| y2 |
| m2-4 |
（2）在椭圆
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 20 |
（3）曲线
| x2 |
| 10-m |
| y2 |
| 6-m |
| x2 |
| 5-m |
| y2 |
| 9-m |
（4）渐近线方程为y=±
| b |
| a |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（5）抛物线y=ax2的焦点坐标为(0，
| 1 |
| 4a |
选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
|
|
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
|
D．（不等式选讲）
设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |