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说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
C
C
D
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
9．
10．
11．
12. 
13. 
14．
15．2
说明：第14题答案可以有多种形式，如可答
或
Z
等, 均给满分.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．(本小题满分12分)
解：（1）∵
……2分
……4分
.
……6分
∴
.
……8分
(2) 当
时, 
取得最大值, 其值为2 .
……10分
此时
，即
Z.
……12分
17．(本小题满分12分)
解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件
，
. ……3分
即这箱产品被用户接收的概率为
．
……4分
（2）
的可能取值为1，2，3．
……5分
=
，
=
，
=
，
……8分
∴的概率分布列为：
1
2
3
……10分
∴
=
．
……12分
18．(本小题满分14分)
解：（1）∵点A、D分别是
、
的中点，
∴
.
……2分
∴∠
=90º.
∴
.
∴ 
,
∵
,
∴
⊥平面
.
……4分
∵
平面,
∴
.
……6分
（2）法1：取
的中点
，连结
、
．
∵
,
∴
.
∵
,
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
……8分
∵
∴
平面
.
∵
平面,
∴
.
∴∠
是二面角
的平面角.
……10分
在Rt△
中, 
，
在Rt△中, 
，
.
……12分
∴ 二面角的平面角的余弦值是
.
……14分
法2：建立如图所示的空间直角坐标系
．
则
（－1，0，0），
（－2，1，0），（0，0，1）.
∴
=（－1，1，0），
=（1，0，1）,
……8分
设平面
的法向量为
=（x，y，z），则：
， ……10分
令
，得
，
∴=（1，1，－1）.
显然，
是平面
的一个法向量，=（
）． ……12分
∴cos<，>=
．
∴二面角的平面角的余弦值是.
……14分
19. (本小题满分14分)
解:(1)依题意知,
……2分
∵
,
∴
.
……4分
∴所求椭圆的方程为
.
……6分
（2）∵ 点
关于直线
的对称点为
，
∴ 
……8分
解得：
，
.
……10分
∴
.
……12分
∵
点在椭圆:上,
∴
, 则
.
∴
的取值范围为
.
……14分
20.（本小题满分14分）
解：（1）数表中前
行共有
个数，
即第i行的第一个数是
，
……2分
∴
＝
．
∵
，＝2010，
∴ i＝11． ……4分
令
,
解得
．
……6分
（2）∵
．
……7分
∴
．
当
时, 
, 则
;
当
时, , 则;
当
时, , 则;
当
时, 猜想:
.
……11分
下面用数学归纳法证明猜想正确.
① 当
时,
, 即成立;
② 假设当
时, 猜想成立,
即
,
则
,
∵
,
∴
.
即当
时，猜想也正确.
由①、②得当
时, 成立.
当时,
.
……13分
综上所述, 当
时, ; 当时,. ……14分
另法( 证明当时, 可用下面的方法):
当时, 
C
+ C
+ C
+ C
.
21. (本小题满分14分)
解：（1）当
时，
，
∴
.
令=0, 得 
.
……2分
当
时,
, 则
在
上单调递增;
当
时,
, 则在
上单调递减;
当
时,, 在
上单调递增.
……4分
∴ 当
时, 取得极大值为
;
当
时, 取得极小值为
. ……6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，则△≤0， ……7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上单调递增 .
∵f（0）
，
,
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． ……9分
② 若a＜1，则△＞0，
∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
当
变化时，
的取值情况如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
……11分
∵
,
∴
.
∴ （本小题满分14分） 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x(°C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数y(个) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验. (Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分) (Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程 (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分) (参考公式: （本小题满分14分） 桌面上有三颗均匀的骰子（6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）。重复下面的操作，直到桌面上没有骰子：将骰子全部抛掷，然后去掉那些朝上点数为奇数的骰子。记操作三次之内（含三次）去掉的骰子的颗数为X. （1）求 （2）求X的分布列及期望 （本小题满分14分） （本小题满分14分） 一汽车厂生产A，B，C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 标准型 300 450 600 已知在该月生产的轿车中随机抽一辆，抽到舒适型轿车B的概率为0.075，按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． （1）求 （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． （本小题满分14分） 一汽车厂生产A，B，C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 标准型 300 450 600 已知在该月生产的轿车中随机抽一辆，抽到舒适型轿车B的概率为0.075，按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． （1）求 （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
；(6分)
)
；
.
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请画出上表数据的散点图；
3
4
5
6
2.5
3
4
4.5
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
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和的值；
和的值；