摘要：平面NAM的法向量为=(-.0.1).--------------------------------------
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给出下列命题：
①直线l的方向向量为
=（1，-1，2），直线m的方向向量为
=（2，1，-
）则l⊥m
②直线l的方向向量为
=（0，1，-1），平面α的法向量为
=（1，-1，-1），l?α则l⊥α．
③平面α，β的法向量分别为
=（0，1，3），
=（1，0，2），则α∥β．
④平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量
=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的序号是（ ）
①直线l的方向向量为
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
②直线l的方向向量为
| a |
| n |
③平面α，β的法向量分别为
| n1 |
| n2 |
④平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量
| n |
其中真命题的序号是（ ）
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α
α D.l与α斜交在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，
又因为
,
………………2分
又
，得证。
第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则
的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，
又因为,又
………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
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