我们用符号“||”定义过一些数字概念，如实数绝对值的概念：对于a∈R，|a|=

a，a＞0 0，a=0 -a，a＜0

，可以证明，对任意a，b∈R，不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立．
（1）再写出两个这类数学概念的定义及其成立的不等式；
（2）对于集合A，定义“|A|”为集合A中元素的个数，对任意的集合A、B有类似的不等式成立吗？如果有，写出一个，并指出等号成立的条件（不必说明理由）；如果没有，请说明理由；
（3）设有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若从A中任取两上元素，恰好都是B中元素的概率p≥

1

5

，求|A∩B|的取值范围．

已知a，b，c是正常数，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），
（1）求证：

a2

x

+

b2

y

+

c2

z

≥

(a+b+c)2

x+y+z

，并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论：
①求函数f(x)=

1

x

+

4

1-2x

+

25

1+x

(x∈(0，

1

2

))的最小值，并求出相应的x值；
②设a、b、c∈（0，1），求证：

a

1-bc2

+

b

1-ca2

+

c

1-ab2

≥

a+b+c

1-abc

．

（2007•上海模拟）（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
（2）若三角形有一个内角为arccos

7

9

，周长为定值p，求面积S的最大值；
（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）²-c²][c²-（a-b）²]=-c⁴+2（a²+b²）c²-（a²-b²）²=-[c²-（a²+b²）]²+4a²b²
而-[c²-（a²+b²）]²≤0，a²≤81，b²≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c²=a²+b²，a=9，b=8，于是c²=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．
（注：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）