一、填空题：（5’×11＝55’）

题号

1

2

3

4

5

6

答案

0

2

题号

7

8

9

10

11

答案

4

8.3

②、③

二、选择题：（4’×4＝16’）

题号

12

13

14

15

答案

A

C

B

B

三、解答题：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16.（理）解：设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．

因为，所以

    推出．

依题意可知，当时，取得最小值．而，

故有，解得．

又点在椭圆的长轴上，即. 故实数的取值范围是．

…2

…6

…8

…10

…12

16.（文）解：由条件，可得，故左焦点的坐标为.

设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．

因为，所以

         ,

由二次函数性质可知，当时，取得最小值4．

所以，的模的最小值为2，此时点坐标为.

…2

…6

…8

…10

…12

17. 解：（1）当时，；

当且时，；

当时，；（不单独分析时的情况不扣分）

当时，.

（2） 由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；

当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集.

因为，当且仅当时取等号，

所以当时，集合的元素个数最少.

此时，故集合.

…2

…4

…6

…8

…12

…14

18.(理) （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）

解：（1）如图，建立空间直角坐标系.不妨设.

依题意，可得点的坐标，，.

    于是，，.

 由，则异面直线与所成角的大小为.

（2）解：连结.  由，是的中点，得;

由面，面，得.

又，因此面

由直三棱柱的体积为.可得.

所以，四棱锥的体积为

.

…3

…7

…9

…11

…13

…15

18. （文）（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

解：

 （2）解：如图所示. 由，，则面.所以，四棱锥的体积为.

…3

…6

…10

…15

19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12.

由此可得，；

由规律②可知，，

；

又当时，，

所以，，由条件是正整数，故取.

 综上可得，符合条件.

（2） 解法一：由条件，，可得

，

，

，.

因为，，所以当时，，

故，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”.

解法二：列表，用计算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人数

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”.

…3

…6

…9

…10

…12

…14

…16

…15

…16

20.解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：

     ；

  （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，

则，即    

而  则 .

所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，

其通项公式为，.

解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为.

由………… ①

又若，则对每一都有………… ②

从①、②得；

则；

因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为，.

…4

…7

…9

…10

…7

…9

…10

（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：

问题一：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.

解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

，

因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数。故等式不可能成立。所以这样的两个子数列不存在。

【以上解答属于层级3，可得设计分4分，解答分6分】

问题二：是否存在数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.

解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

………… ①

若且，则①，矛盾；若且，则①

，矛盾；故必有且，不妨设，则

①………… ②

1当时，②，等式左边是偶数，右边是奇数，矛盾；

2当时，②

或

   ，

两个等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

综合可得，不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等。

【以上解答属于层级4，可得设计分5分，解答分7分】

问题三：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由.

解：假设存在满足条件的原数列的两个不同的无穷等比子数列。设这两个子数列的首项、公比分别为和，其中且或，则

，

显然当时，上述等式成立。例如取，，得：

第一个子数列：，各项和；第二个子数列：，

各项和，有，因而存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍。

【以上解答属层级3，可得设计分4分，解答分6分.若进一步分析完备性，可提高一个层级评分】

问题四：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由. 解（略）：存在。

问题五：是否存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得其中一个数列的各项和等于另一个数列的各项和的倍？并说明理由. 解（略）：不存在.

【以上问题四、问题五等都属于层级4的问题设计，可得设计分5分。解答分最高7分】

2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研数学试卷（文科）2008.12

说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。

一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.

1. 已知集合，集合,则            .

2. 抛物线的焦点坐标为              .

3. 已知函数，则          .

4. 设定义在上的函数满足，若，则

A．如图，四边形ABCD内接于⊙O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB²=BE•CD．
B．已知矩阵M

2 -3 1 -1

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
C．已知圆的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1． 查看习题详情和答案>>

A．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
B．已知矩阵A=

.

1 -2 3 -7

.

．
（1）求逆矩阵A^-1；
（2）若矩阵X满足AX=

3 1

，试求矩阵X．
C．坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：ρcos（θ+

π

4

）=2

2

与曲线C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均为正数，求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

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A．（极坐标系与参数方程选做题） 已知圆ρ=3cosθ，则圆截直线

x=2+2t y=1+4t

（t是参数）所得的弦长为

 

；
B．（几何证明选讲选做题） 如图：PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，则圆O的半径等于

 

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