摘要：建立坐标系.如图5-20. (1)证明:设AE=BF=x.则A′(a.0.a).F(a-x.a.0).C′(0.a.a).E(a.x.0) ∴={-x.a.-a}.={a.x-a.-a}. ∵·=-xa+a(x-a)+a2=0 ∴A′F⊥C′E (2)解:设BF=x.则EB=a-x 三棱锥B′-BEF的体积 V=x(a-x)·a≤()2=a3 当且仅当x=时.等号成立. 因此.三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时BE=BF=.过B作BD⊥EF于D.连 B′D.可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角在直角三角形BEF中.直角边BE=BF=.BD是斜边上的高.∴BD=a. ∴tanB′DB= 故二面角B′-EF-B的大小为arctan2. 评述:本题考查空间向量的表示.运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值.二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系.把几何问题代数化.降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于·=0.使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法.计算较简单.有一定的思维量.
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[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
|
|
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=
| a2+b2 |
| c2+d2 |
| (ac+bd)(ad+bc) |