摘要：15．设函数f(x)＝ax+(a.b∈Z).曲线y＝f(x)在点(2.f(2))处的切线方程为y＝3. (1)求f(x)的解析式, (2)证明:函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形.并求其对称中心, (3)证明:曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值.并求出此定值． (1)解:f′(x)＝a-. 于是 解得或 因a.b∈Z.故f(x)＝x+. (2)证明:已知函数y1＝x.y2＝都是奇函数． 所以函数g(x)＝x+也是奇函数.其图象是以原点为中心的中心对称图形． 而f(x)＝x-1++1. 可知.函数g(x)的图象按向量a＝(1,1)平移.即得到函数f(x)的图象.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形． (3)证明:在曲线上任取一点 . 由f′(x0)＝1-知.过此点的切线方程为 y-＝(x-x0)． 令x＝1得y＝.切线与直线x＝1交点为. 令y＝x得y＝2x0-1. 切线与直线y＝x交点为(2x0-1,2x0-1)． 直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为 |2x0-1-1| ＝·＝2 所以所围成三角形的面积为定值2.

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