摘要：证向量平行的方法: 依定义; (3)用几何方法. [例3]已知G是△ABC的重心.O是外心,H是垂心,P是平面ABC内任意一点,求证: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 点O.G.H三点共线. 证明:(1)以向量为邻边作平行 四边形GBEC.则. 又G为△ABC的重心知.从而. ∴. (2)如图1易知.., 三式相加得 (3)作辅助线如图2,DA⊥AC,DB⊥BC,∴DA//BH,DB//AH 在ADBH中,, ∴ 中取P为O,得 ∴,点O.G.H共线. ◆提炼方法:1.明确解题目标,用好加法的两个法则.几何图形和向量中处理问题的一些手法.如向量共线.点共线的证法和用法;
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如图所示的长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用
，又
平面，
平面，∴平面由
，
，又
，∴平面．
可得证明
（3）因为∴
为面
的法向量．∵
，
，
∴
为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，
，
∴
与
的夹角为
，即二面角的大小为．
方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接
，则点
、
，
∴，又点
，
，∴
∴
，且
与
不共线，∴．
又平面，平面，∴平面．…………………4分
（Ⅱ）∵
，
∴，，即，，
又，∴平面． ………8分
（Ⅲ）∵
，
，∴
平面，
∴为面的法向量．∵，，
∴为平面的法向量．∴，
∴与的夹角为，即二面角的大小为
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