摘要：15．已知函数f(x)＝(m∈R.e＝2.71828-是自然对数的底数)． (1)求函数f(x)的极值, (2)当x>0时.设f(x)的反函数为f-1(x).对0<p<q.试比较f(q-p).f-1(q-p)及f-1(q)-f-1(p)的大小． 解:(1)当x>0.f(x)＝ex-1在上单调递增.且f(x)＝ex-1>0, 当x≤0时.f(x)＝x3+mx2.此时f′(x)＝x2+2mx＝x(x+2m)． ①若m＝0.f′(x)＝x2≥0.则f(x)＝x3.在(-∞.0]上单调递增.且f(x)＝x3≤0. 又f(0)＝0.可知函数f(x)在R上单调递增.无极值． ②若m<0.令f′(x)＝x(x+2m)>0 ⇒x<0或x>-2m． 函数f(x)＝x3+mx2在(-∞.0]上单调递增. 同理.函数f(x)在R上单调递增.无极值． ③若m>0.令f′(x)＝x(x+2m)>0⇒x>0或x<-2m. 函数f(x)＝x3+mx2在(-∞.-2m]上单调递增.在(-2m,0]上单调递减． 此时函数f(x)在x＝-2m处取得极大值:f(-2m)＝m3+4m3＝m3>0, 又f(x)在上单调递增.故在x＝0处取得极小值:f(0)＝0. 综上可知.当m>0时.f(x)的极大值为m3.极小值为0,当m≤0时.f(x)无极值． (2)当x>0时.设y＝f(x)＝ex-1⇒y+1＝ex⇒x＝ln(y+1)． ∴f-1(x)＝ln(x+1)(x>0)． (ⅰ)比较f(q-p)与f-1(q-p)的大小． 记g(x)＝f(x)-f-1(x)＝ex-ln(x+1)-1(x>0)． ∵g′(x)＝ex-在上是单调递增函数. ∴g′(x)>g′(0)＝e0-＝0恒成立． ∴函数g(x)在上单调递增． ∴g(x)>g(0)＝e0-ln(0+1)-1＝0. 当0<p<q时.有q-p>0. ∴g(q-p)＝eq-p-ln(q-p+1)-1>0. ∴eq-p-1>ln(q-p+1).即f(q-p)>f-1(q-p)．① (ⅱ)比较f-1(q-p)与f-1(q)-f-1(p)的大小． ln(q-p+1)-[ln(q+1)-ln(p+1)] ＝ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1) ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ＝ln[+1]． ∵0<p<q.∴+1>1.故ln[+1]>0. ∴ln(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1). 即f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p)．② ∴由①②可知.当0<p<q时.有f(q-p)>f-1(q-p)>f-1(q)-f-1(p)．

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