摘要：如图.三条直线a.b.c两两平行.直线a.b间的距离为p.直线b.c间的距离为.A.B为直线a上两定点.且|AB|=2p.MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段. (1)建立适当的平面直角坐标系.求△AMN的外心C的轨迹E, (2)接上问.当△AMN的外心C在E上什么位置时.d+|BC|最小.最小值是多少?(其中d是外心C到直线c的距离). 解:(1)以直线b为x轴.以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系. 设△AMN的外心为C(x,y).则有A(0,p).M(x–p,0).N(x+p,0). 由题意.有|CA|=|CM| ∴,化简.得x2=2py 它是以原点为顶点.y轴为对称轴.开口向上的抛物线. 得.直线C恰为轨迹E的准线. 由抛物线的定义知d=|CF|.其中F(0,)是抛物线的焦点. ∴d+|BC|=|CF|+|BC| 由两点间直线段最短知.线段BF与轨迹E的交点即为所求的点 直线BF的方程为联立方程组 得. 即C点坐标为(). 此时d+|BC|的最小值为|BF|=.

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