摘要：4．已知函数 (1)若.求证:, (2)是否存在实数.使得方程有四个不同的实数根?若存在.求出实数的取值范围,若不存在.说明理由. 例5．已知函数 (Ⅰ)若.且存在单调递减区间.求的取值范围, (Ⅱ)设函数的图象C1与函数图象C1交于点P.Q.过线段PQ的中点作轴的垂线分别交C1.C2于点M.N.证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. ［剖析］利用导数的几何意义.函数在某一点处的导数值.就是函数图象在该点处的切线的斜率.求得切线的斜率后.再通过比较其在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线的斜率不相等.来证明该题. ［解］(I).则 因为函数存在单调递减区间.所以有解. 又因为时.则有的解. ①当时.为开口向上的抛物线.总有的解, ②当时.为开口向下的抛物线.而总有的解, 则,且方程至少有一正根.此时. 综上所述.的取值范围为. (II)证法一 设点P.Q的坐标分别是... 则点M.N的横坐标为 在C1点M处的切线斜率为 在C2点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行.则. 即.则 = 所以 设则 ① 令.则 因为时..所以在上单调递增. 故 则. 这与①矛盾.假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 证法二:同证法一得 因为.所以.令.得 ② 令 因为.所以时..故在上单调递增.从而.即.于是在上单调递增. 故即这与②矛盾.假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. ［警示］利用导数求曲线的切线问题.几乎是每年必考的内容.这类问题.即有可能出现在选择题与填空题中.也有可能出现在解答题中.在这类问题中.导数所担负的任务是求出其切线的斜率.综合考察导数在解决函数单调性.函数曲线的切线等问题中的作用． ［变式训练］
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已知函数f（x）=elnx，g（x）=e-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函数g（x）的极大值；
（2 ）求证：1+
+
+…+
＞ln(n+1)(n∈N*)；
（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数h(x)=
x2，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
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（1）求函数g（x）的极大值；
（2 ）求证：1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数h(x)=
| 1 |
| 2 |
已知函数f（x）=x-1-lnx．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：当n∈N*时，e1+
+
+…+
＞n+1；
（3）对于函数h（x）和g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，则称直线y=kx+b是函数h（x）与g（x）的“分界线”．设函数h(x)=
x2，g（x）=e[x-1-f（x）]，试问函数h（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在，说明理由．
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（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：当n∈N*时，e1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
（3）对于函数h（x）和g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，则称直线y=kx+b是函数h（x）与g（x）的“分界线”．设函数h(x)=
| 1 |
| 2 |
已知函数f（x）=eλx+（1-λ）a-λex，其中α，λ，是常数，且0＜λ＜1．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）对任意给定的正实数a，是否存在正数x，使不等式|
-1|＜a成立？若存在，求出x，若不存在，说明理由；
（III）设λ1，λ2∈（0，+∞），且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1，a2都有：a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．
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（I）求函数f（x）的极值；
（II）对任意给定的正实数a，是否存在正数x，使不等式|
| ex-1 | x |
（III）设λ1，λ2∈（0，+∞），且λ1+λ2=1，证明：对任意正数a1，a2都有：a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
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| f(x) |
| x |
| f(x) |
| x2 |
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
| x | a | b | c | a+b+c |
| f（x） | d | d | t | 4 |
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．